######数式ソースファイル######
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\documentclass[a4j]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
今回は分散の加減法について考えてみます。分散の定義式は以下のものです。
\begin{eqnarray}
V[\bar X] = E[ (X - \mu)^2]
\end{eqnarray}
ここで、括弧内を展開すると以下のような結論が導くことができます。
\begin{eqnarray}
V[\bar X] = E[ (X - \mu)^2] = E[X^2 - 2\mu X + \mu^2] = E[X^2] - 2\mu E[X] + \mu^2 = E[X^2] - \mu^2 = E[X^2] - {E[X]}^2
\end{eqnarray}
ここで、異なる二つの母集団に従う確率分布$X, Y$の加減法ついて考えます。
ただし、この時点で、$X, Y$は独立である必要はありません。
\begin{eqnarray*}
V[X \pm Y] & = & E[(X \pm Y)^2] - {E[X \pm Y]}^2 \\
& = & E[X^2 \pm 2XY + Y^2] - \{E[X] \pm E[Y]\}^2\\
& = & E[X^2] \pm 2E[XY] + E[Y^2] - {E[X]}^2 \mp 2E[X][Y] - {E[Y]}^2 \\
& = & E[X^2] -\{E[X]\}^2 + E[Y^2] -\{E[Y]\}^2 \pm\{2\{E[XY] -E[X]E[Y]\}
\end{eqnarray*}
ここで、$Cov[X,Y]$を共分散(covariance)という名称で以下の式のように定義する。
\begin{eqnarray*}
Cov[X,Y] & \equiv & E[\{X - E[X]\}\{Y - E[Y]\}] \\
& = & E[XY - X \cdot E[Y] - Y \cdot E[X] + E[X]E[Y]]\\
& = & E[XY] - E[X]E[Y] - E[X]E[Y] + E[X]E[Y] \\
& = & E[XY] - E[X]E[Y]
\end{eqnarray*}
今、確率変数$X, Y$が独立の場合の$E[XY]$について考える。
\begin{eqnarray*}
E[XY] & = & \sum \sum x_i y_j \cdot P(X = x_i, Y=y_j) \\
& = & \sum \sum x_i \cdot P(X = x_i) \cdot y_j \cdot P(Y = y_j) \\
& = & \sum x_i \cdot P(X = x_i) \sum y_j \cdot P(Y = y_j) = E[X]E[Y]
\end{eqnarray*}
したがって、確率変数$X, Y$が独立の場合、$Cov[X,Y] = 0$となることがわかります。
ところでここまでの結果を踏まえると、$V[X \pm Y]$は、共分散$Cov[X,Y]$を用いて以下のように書くことができる。
\begin{eqnarray}
V[X \pm Y] & = & E[X^2] -\{E[X]\}^2 + E[Y^2] -\{E[Y]\}^2 \pm\{2\{E[XY] -E[X]E[Y]\} \nonumber \\
& = & V[X] + V[Y] \pm 2 Cov[X, Y]
\end{eqnarray}
######ここまで########
