###############数式のソースファイル#################
% interval.tex
\documentclass[a4j]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
区間推定は、真のパラーメーター(母数):$\theta$が、ある区間$(L,U)$に入る確率を$1 - \alpha$以上に保証する方法である。すなわち、
\begin{eqnarray*}
P(L \leq \theta \leq U) \geq 1 - \alpha
\end{eqnarray*}
となる確率変数$L, U$をサンプルの関数として求めるものである。$L$を下側信頼下界 lower confidence limit, $U$を上側信頼下界 upper confidence limitと呼ぶ。
また、$1 - \alpha$のことを信頼係数と呼び、通常は0.95、0.99に設定されることが多い。区間$[L, U]$を$100(1- \alpha)\%$区間と呼ぶ。
信頼区間を求めるには、$\bar \theta$の標本分布から求める。\\ \\
【例】母集団分布が平均$\mu$、分散$\sigma^2$(既知)の正規分布$N(\mu, \sigma^2)$を仮定できるとする。いま、母集団からサンプルサイズ$n$の標本をとったとき、$\mu$の信頼区間を信頼係数$1 -\alpha$で推定する。 \\ \\
条件の下で、標本平均は$\bar X$の母集団は正規分布$(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$に従う。
これを標準化すると、
\begin{eqnarray*}
Z = \frac{\bar X - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}
\end{eqnarray*}
となる。$Z$はz分布、すなわち標準正規分布$N(1,0)$に従う。このため、
\begin{eqnarray*}
P(- Z_{\alpha /2} \leq \frac{\bar X - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \leq Z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha
\end{eqnarray*}
括弧内の不等式を$\mu$について解くと
\begin{eqnarray*}
P(\bar X - Z_{\alpha /2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n{}}} \leq \mu \leq \bar X + Z_{\alpha /2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n{}}}) = 1 - \alpha
\end{eqnarray*}
よって、$\mu$の信頼係数$1 - \alpha$の信頼区間は
\begin{eqnarray*}
[\bar X - Z_{\alpha /2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n{}}}, \bar X + Z_{\alpha /2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n{}}}]
\end{eqnarray*}
である。\\
【参考文献】\\
東京大学教養部統計学教室（1991) 『統計学入門』 東京大学出版 226,227pp.\\
松原望(2007)『入門 統計解析 医学・自然科学編』東京図書 178,179pp.\\
\pagestyle{empty}
\end{document}
