% moment1.tex
\documentclass[a4j]{jarticle}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
$X$の原点まわり$r$次のモーメントmoment(積率) : $\mu _ r $を以下のように定義する。
\begin{eqnarray}
\mu _ r = E (X ^r )
\end{eqnarray}
同様に、平均値まわりの$r$次のモーメント : $\mu' _r $も以下のように定義される。
\begin{eqnarray}
\mu' _ r = E (X - \mu )^r
\end{eqnarray}
以下のようにして、$X$の$r$次の標準化モーメント $\alpha _r$も定義されている。
\begin{eqnarray}
\alpha _ r = E \{(X - \mu )/ \sigma\}^r
\end{eqnarray}
モーメントの特殊な例として、期待値は$\mu _1$, 分散は$\mu' _ 2$, 歪度skewnessは$\alpha _3$, 尖度kurtosisは$\alpha _4$と定義されていることがわかる。
\begin{eqnarray}
\mu _ 1 = E (X) \\
\mu' _ 2 = V(X)
\end{eqnarray}
\\
【参考文献】 \\
東京大学教養部統計学教室（1991) 『統計学入門』 東京大学出版 99 - 104pp.
