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\documentclass{jarticle}
\begin{document}
Normal distribution
\begin{eqnarray}
\sigma ^2 = V = \frac{S}{n - 1} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{ x})^2
\end{eqnarray}
\pagestyle{empty}
\end{document}
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このσ^2の信頼区間を求めるには、S/σ^2の分布が必要になる。
標準正規分布(0, 1^2)からとられた大きさnの無作為標本x1,x2, ... , xuについて
χ^2 = x1^2 + x2^2 … + xn^2
の分布(カイの二乗)であるf(χ^２）は、
Rで描写
#カイ2乗分布
png("120927_chi.png")
curve(dchisq(x,1), from=0, to=20, lty=1, xlab="Z", ylab="Tn(Z)", ylim=c(0,0.8), main = "chi square distribution")
abline(h=0)
curve(dchisq(x,3), add=T, lty=2)
curve(dchisq(x,5), add=T, lty=5)
curve(dchisq(x,7), add=T, lty=7)
legend(x=15, y=0.8, lty=c(1,2,3,4), legend=c("n+1", "n=3", "n=5", "n=7"))
dev.off()
ここでさらに
正規分布N(μ, σ^2)に従う母集団から、大きさnの無作為標本x1,x2, ..., xnが得られたとき
は、自由度nのカイ二乗分布に従う。
同様に、母集団の平均値が不明のとき、標本平均を推定値として採用した式、
このσ^2の信頼区間を求めるには、S/σ^2の分布が必要になる。
標準正規分布(0, 1^2)からとられた大きさnの無作為標本x1,x2, ... , xuについて
χ^2 = x1^2 + x2^2 … + xn^2
の分布(カイの二乗)であるf(χ^２）は、
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#カイ2乗分布
png("120927_chi.png")
curve(dchisq(x,1), from=0, to=20, lty=1, xlab="Z", ylab="Tn(Z)", ylim=c(0,0.8), main = "chi square distribution")
abline(h=0)
curve(dchisq(x,3), add=T, lty=2)
curve(dchisq(x,5), add=T, lty=5)
curve(dchisq(x,7), add=T, lty=7)
legend(x=15, y=0.8, lty=c(1,2,3,4), legend=c("n+1", "n=3", "n=5", "n=7"))
dev.off()
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ここでさらに
正規分布N(μ, σ^2)に従う母集団から、大きさnの無作為標本x1,x2, ..., xnが得られたとき
同様に、母集団の平均値が不明のとき、標本平均を推定値として採用した式、
は自由度n-1のカイ二乗分布に従う。標本平均を使用した場合、自由に動きうる変数の個数が一つ減るため、自由度はn - 1n
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\documentclass{jarticle}
\begin{document}
unbiased variance
\begin{eqnarray}
z = {(x_1 - \bar{\mu})^2 + (x_2 - \bar{\mu})^2 + \cdots + (x_n - \bar{\mu}^2} / \sigma ^2
\end{eqnarray}
\pagestyle{empty}
\end{document}
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S/σ^2がn-1の自由度のカイ二乗分布に従うこと利用すると、
こにょうにして、
