\documentclass{jsarticle}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\title{\TeX 母平均の差の信頼区間}
\author{kappa}
\date{Sunday September 30}
\maketitle
確率変数 $X$, $Y$ に関して以下の条件を前提にする。\\
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\begin{align}
X \stackrel{}{\sim} N(\mu_1, \sigma _2 ^2) \\
Y \stackrel{}{\sim} N(\mu_2, \sigma _2 ^2)
\end{align}
いまから、母平均の差$\mu_1 - \mu_2$の信頼区間について考える。\\
母分散が等しいとは仮定できるとすると、\\
\begin{align}
\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma^2
\end{align}
母分散が共通の二つの標本を合併したものから、合併した分散(pooled variance):$s$を定義する。\\
\begin{align}
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^m (X_i - \bar X)^2 + (Y_i - \bar Y)^2}{m + n - 2}\notag \\
= \frac{(m-1)s_1^2 + (n-1)s_2^2}{m + n - 2}
\end{align}
二標本を標準化すると
\begin{align}
Z = \frac{(X - Y) -(\mu_1 - \mu_2)}{\sqrt{(\frac{1}{m} + \frac{1}{n})\sigma^2}}\\
Z \stackrel{}{\sim} N(1, 0)
\end{align}
二標本のt統計量は
\begin{align}
t = \frac{Z}{\sqrt{s^2/\sigma^2}}\\
= \frac{(X - Y) -(\mu_1 - \mu_2)}{s \sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}}\\
t \stackrel{}{\sim} t(m + n - 2)
\end{align}
したがって、
\begin{align}
P(-t_{\alpha / 2} (m + n - 2) \leq \frac{(X - Y) -(\mu_1 - \mu_2)}{s \sqrt{\frac{1}{m} + \frac{1}{n}}} \leq P(-t_{\alpha / 2} (m + n - 2))
= 1 - \alpha
\end{align}
となる。差$\mu_1 - \mu_2$に関して解くと、信頼係数$1-\alpha$の信頼区間は
\begin{align}
[\bar X - \bar Y - t_{\alpha/2}(m + n - 2) s \sqrt{\frac{1}{m}} , \bar X - \bar Y + t_{\alpha/2}(m + n - 2) s \sqrt{\frac{1}{m}} ]
\end{align}
差$\mu_1 - \mu_2$の$1-\alpha$の信頼区間が0を含まない時、二群の母平均に有意差があるといえる。
\end{document}
