今、CityAとCityBに住んでいる住人をそれぞれの群から無作為に6人だけ選出して身長を測定したとします。それが以下のデータです。
このデータに対して対応の無い２群の一元配置分散分析を行います。
分散分析とは総変動を以下のように
総変動 = 目的要因変動 + 誤差変動
と分けることが発想の基盤となります。これにしたがって、以下の図のように目的要因変動(都市による変動)と誤差による変動を計算します。
これらから、各偏差平方を計算すると以下のようになります。
今回のケースで実際に計算してみると、
F = 300 / 6 = 50
となります。
自由度v1 = 1, v2 = 10の下、上側確率が5%になるF値は、,F分布表を参照すると4.96となります。
そのため、「今回のケースは都市による変動が誤差による変動を危険率5%で有意に上回る」と言うことができます。
一方、今回のケースにStuden t検定を行うとどうなるでしょうか。個々から下はRを用いて計算を行います。
$ R
> cityA <- c(178, 182, 181, 179, 178, 182)
> cityB <- c(168, 172, 174, 166, 169, 171)
> t.test(cityA, cityB, var.equal=T)
Two Sample t-test
data: cityA and cityB
t = 7.0711, df = 10, p-value = 3.411e-05
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
6.848936 13.151064
sample estimates:
mean of x mean of y
180 170
p< 0.05なので、二群の平均値の間には有意な差があると言うことができます。
ところで、t値は7.0711と求まりました。
実はこのt値を2乗してみると面白い結果を得ることができます。
> 7.0711 * 7.0711
[1] 50.00046
なんと驚いたことに、先ほど計算したF値とStudent t testで計算したt値の二乗が一致するではありませんか。これはただの偶然ではないのです。
一般に、平均値の二群比較でもとめられるt値の二乗は、対応の無い２群の一元配置分散分析を行うF値に等しいのです。
このことから、tテストを行うということはANOVAを特定下で行うことに等しいということができます。
この話題は、結局平均値の二群比較とANOVAと回帰分析を巻き込んで、一般化線形モデルというトッピックに発展するようです。
まだ勉強の途中でよく理解できていないので、あまり細かいことは良く理解できていません。しかし、現状理解できているのは、「見たい要因による効果」と「偶然による誤差」を一次結合の形式で分離することができるというモデル(信念)を頭において、これらの理論は構築されているということです。
非線形であった場合、例えば誤差がある値を超えてきた場合に、見たい要因の変動にもとても大きな(小さな)な影響を与えるようなことが起きると思われます(一例ですが)。非線形の場合は、さまざまな要因間が絡み合っていると考えるはずです。要するに、「世の中、物事の足し算でできているような単純なものではない」とすることではないでしょうか。
少し、哲学的になってきてしまいましたが、現状私が理解できている(しているつもり)の範囲を書きました。
【参考文献】
栗原 伸一『入門統計学』Ohmsha, 2011, 88-89, 130-138pp
