指数分布

故障率が一定のシステムで次の故障が起きるまでの時間Xや次の災害が起きるまでの時間Xなどのまったく独立に生じる現象は、その待ち時間が指数分布に従うことが知られています(2)。


待ち時間の累積分布関数は(2)のようになる。

これらのことは、指数分布に従う現象は、近い将来に起こっても不思議ではないことを意味する。
航空機の墜落のような希少事象が連続することがこれに該当する。

$ vim exponential_distribution.tex



%exponential_distribution.tex


\documentclass{jsarticle}
\begin{document}

Probability density function of exponential distribution
\begin{equation}
f(t)= \left \{
\begin{array}{l}
f(t) = \lambda \mathrm{e}^{-\lambda t}\ (t \geq 0)\\
0 \ ( t < 0 )
\end{array}
\right.
\end{equation}

Cumulative distribution function of exponential distributiont   $ (t\geq 0) $
\begin{equation}
F(t) = P(X \leq t) = \int_{-\infty}^t f(u) du = 1 - \lambda \mathrm{e}^{-\lambda t}
\end{equation}

\end{document}

$ platex exponential_distribution.tex

$ dvipng -T tight exponential_distribution.dvi

f(t) , F(t)をRを用いて描写してみます。

$ vim command.in

png("120816_figure.png")

par(mfrow=c(1,2))

curve(exp(-1 * rambda * x),0,10,main="f(t), rambda = 1")

curve(1 - exp( -1 * rambda * x) ,0,10,main="F(t), rambda = 1")

dev.off()

history()

$ R

source("command.in")

scpコマンドでファイルを転送

ファイルの内容を暗号化して、ftpよりも安全に他のコンピュータに送るときは、scpを使用します。

$ scp hoge.file username@ipaddress:path

運動方程式を題材にしてplatexによる数式のフィギアを作る。

○基本形は下

\documentclass{jsarticle}
\begin{document}
%コメントをここに入れる
\pagestyle{empty}
\end{document}


○改行して数式を入れる


\documentclass{jsarticle}
\begin{document}
\[%ここに数式 \]
\pagestyle{empty}
\end{document}


○太字斜体でベクトルを表記する
\mbox{\boldmath $a$}


○時間微分

\dot a

○二階の時間微分

\ddot a

○コンパイル
$ platex hoge.tex


○dviをpngに変換
$ dvipng -T tight hoge.dvi

それでは、いよいよニュートンの運動方程式をtexで作成してみます。

$ vim newton.tex


% newton.tex
\documentclass{jsarticle}
\begin{document}
\[ m\frac{d^2\mbox{\boldmath $r$}}{dt^2}= \mbox{\boldmath $F$} \]
\pagestyle{empty}
\end{document}



$ platex newton.tex

$ dvipng -T tight newton.dvi

platexのインストールおよび簡単な使い方

$ vim platexinstall.sh


# platexinstall.sh
sudo apt-get install -y texlive texlive-math-extra ptex-bin xdvik-ja

sudo apt-get install -y dvipdfmx cmap-adobe-japan1 ptex-jisfonts okumura-clsfiles jmpost jbibtex-base jbibtex-bin mendexk

sudo jisftconfig add


$ sudo chmod +x latexinstall.sh

$ sudo ./latexinstall.sh


#テストスクリプトをかく
$ vim hello.tex


\documentclass{jsarticle}
\begin{document}
Hello, world!
\pagestyle{empty}
\end{document}


#コンパイル。dviファイルが生成する。
$ platex hello.tex

#dvipngをインストール
$ sudo apt-get install dvipng

#dviファイルをpngに変換（余白はタイトに切り詰める）
$ dvipng -T tight helllo.dvi

\pagestyle{empty}を入れておかないと、デフォルトでページ番号が入ってしまい、pngにしたときに、文頭からページ番号までを含んだ縦長のファイルが生成してしまうので注意が必要である。

標準偏差一つ分、二つ分。。。

小児の発達などで登場する-2SDという概念を考察します。

SD = Standard Deviation(標準偏差）

ここで、標準偏差1、平均値0の標準正規分布の確率密度曲線を考えます。

# -SD - SDの区間の確率を計算

> integrate(dnorm,-1,1)

0.6826895 with absolute error < 7.6e-15

# -2SD - 2SDの区間の確率を計算

> integrate(dnorm,-2,2)

0.9544997 with absolute error < 1.8e-11

以上の結果から、母集団の-2SDから2SD以内というのは、母集団のおおよそ95%以内に入るということだと理解できます。

参考に図を描写しておきます。

png("120812_curve.png")

curve(dnorm(x),xlim=c(-5,5))

abline(v=-2,col="green")

abline(v=-2,col="green")

abline(v=-2,col="magenta")

abline(v=2,col="magenta")

dev.off()