ニュートンの第2法則

第一法則では、質点の速度ベクトルに何らかの変化が認めたならば、力が作用したと解釈する。これは力の定性的な定義として考えることができる。
第二法則では、運動量の変化を力としてより定量的に定義を行っている。

この流れからわかるよに、第2法則は力の定義という意味合いだけでなく、既知の力のもとで質点の運動を予測する方程式としての意味も持ってくるのである。

ちなみにm=constの前提は、ロッケトが燃料を消費して飛び立つ時などは成り立たちません。l

%text.tex

\documentclass{jsarticle}
\begin{document}
Momentum
\begin{eqnarray}
\mbox{\boldmath$p$} \equiv m \mbox{\boldmath$v$}
\end{eqnarray}

Equation of motion
\begin{eqnarray}
\frac{d \mbox{\boldmath$p$}}{dx}=\mbox{\boldmath$F$}\\
m \frac{d \mbox{\boldmath$v$}}{dt}+ \frac{dm}{dt}\mbox{\boldmath$v$}=\mbox{\boldmath$F$}
\end{eqnarray}
We assume that Mass dose not depend on Time.  (m = const)
\begin{eqnarray}
m \frac{d \mbox{\boldmath$v$}}{dt}=\mbox{\boldmath$F$}\\
m \frac{d^2 \mbox{\boldmath$r$}(t)}{dt^2}=\mbox{\boldmath$F$}
\end{eqnarray}
The initial conditions are needed to solve this equation.
\begin{eqnarray}
\mbox{\boldmath$r$} = \mbox{\boldmath$r_{0}$},\frac{d\mbox{\boldmath$r$}}{dt} = \mbox{\boldmath$v_{0}$}(t = t_{0})
\end{eqnarray}
or
\begin{eqnarray}
\mbox{\boldmath$r$} = \mbox{\boldmath$r_{1}$}(t = t_{1}), \mbox{\boldmath$r$} = \mbox{\boldmath$r_{2}$}(t = t_{2}),
\end{eqnarray}
Given the place and velocity, we solve the equation uniquely.
These are the law of cause and effect in classical mechanics.


\pagestyle{empty}
\end{document}

ニュートンの第2法則

ニュートンの3法則では、第一法則において「力」を質点の慣性に基づく運動に影響を与えるものとして定性的に定義されています。

そして、第2法則では力を質点の運動量の変化として定量的に定義されています。

ニュートンの運動の3法則

藤原邦男先生の「物理学序論としての力学」に記載されている運動の３法則をメモしておく。

法則1
すべての質点はそれに加えられた力によってその状態が変化させられない限り、静止あるいは1直線上の等速運動の状態を続ける。

法則2
質点の運動量（＝質量×速度）の変化は、加えられた力の方向にそって起こり、かつ、微小時間内における運動量の単位時間あたりの変化の大きさは、加えられた力の大きさに等しい。

法則３
すべての作用に大して、等しく、かつ繁体向きの反作用が常に存在する。すなわち、お互いに働き合う2つの質点の相互作用は常に相等しく、かつ反対方向へと向かう。

英語だと以下。

$ vim text.tex


\documentclass{jsarticle}
\begin{document}
Newton's Three Laws of Motion
\begin{enumerate}
\item Every object in a state of uniform motion tends to remain in that state of motion unless an external force is applied to it.
Probability density function
\item The relationship between an object's mass m, its acceleration a, and the applied force F is F = ma. Acceleration and force are vectors (as indicated by their symbols being displayed in slant bold font); in this law the direction of the force vector is the same as the direction of the acceleration vector.
\item For every action there is an equal and opposite reaction.
\end{enumerate}

\pagestyle{empty}
\end{document}

$ platex text.tex

$ dvipng -D 500 -T tight text.tex

統計学の基本的な関数の定義

$ text.tex

% text.tex

\documentclass{jarticle}

\begin{document}

Probability density function

\begin{eqnarray}

P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x)dx \\

f(x) \geq 0 \ \ (- \infty \leq x \leq \infty) \\

\int_{-\infty}^{\infty} f(x)dx = 1

\end{eqnarray}

Cumulative distribution function

\begin{eqnarray}

F(x) = \int_{-\infty}^x(fu)du \\

\frac{d}{dx}F(x) = f(x)

\end{eqnarray}

Expected value

\begin{eqnarray}

E(x) = \int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx = \mu \\ 

\end{eqnarray}

Variance

\begin{eqnarray}

V(x) = E \{ (X - \mu ) \}^2 = \int_{-\infty}^{\infty}(x - \mu)^2f(x)dx = \sigma^2 

\end{eqnarray}

\pagestyle{empty}

\end{document}

$ platex text.tex

$ dvipng -D 1000 -T tight text.dvi

指数分布

故障率が一定のシステムで次の故障が起きるまでの時間Xや次の災害が起きるまでの時間Xなどのまったく独立に生じる現象は、その待ち時間が指数分布に従うことが知られています(2)。


待ち時間の累積分布関数は(2)のようになる。

これらのことは、指数分布に従う現象は、近い将来に起こっても不思議ではないことを意味する。
航空機の墜落のような希少事象が連続することがこれに該当する。

$ vim exponential_distribution.tex



%exponential_distribution.tex


\documentclass{jsarticle}
\begin{document}

Probability density function of exponential distribution
\begin{equation}
f(t)= \left \{
\begin{array}{l}
f(t) = \lambda \mathrm{e}^{-\lambda t}\ (t \geq 0)\\
0 \ ( t < 0 )
\end{array}
\right.
\end{equation}

Cumulative distribution function of exponential distributiont   $ (t\geq 0) $
\begin{equation}
F(t) = P(X \leq t) = \int_{-\infty}^t f(u) du = 1 - \lambda \mathrm{e}^{-\lambda t}
\end{equation}

\end{document}

$ platex exponential_distribution.tex

$ dvipng -T tight exponential_distribution.dvi

f(t) , F(t)をRを用いて描写してみます。

$ vim command.in

png("120816_figure.png")

par(mfrow=c(1,2))

curve(exp(-1 * rambda * x),0,10,main="f(t), rambda = 1")

curve(1 - exp( -1 * rambda * x) ,0,10,main="F(t), rambda = 1")

dev.off()

history()

$ R

source("command.in")