今回は、平均値の二群比較が、対応の無い２群の一元配置分散分析を行うことに等しいことを直感的に理解することを目指します。
今、CityAとCityBに住んでいる住人をそれぞれの群から無作為に6人だけ選出して身長を測定したとします。それが以下のデータです。
このデータに対して対応の無い２群の一元配置分散分析を行います。
分散分析とは総変動を以下のように
総変動 = 目的要因変動 + 誤差変動
と分けることが発想の基盤となります。これにしたがって、以下の図のように目的要因変動(都市による変動)と誤差による変動を計算します。
総変動を分解した結果が以下のようになります。群間変動というのは目的要因変動(都市による変動)のことであり、群変動とは誤差による変動のことを指します。
これらから、各偏差平方を計算すると以下のようになります。
分散分析とは、目的となる要因効果(群間変動)の分散が、誤差効果(標本間変動をのぞいた群内変動)の分散に比べて有意に大きいかを検定する統計手法です。これを行うにはこれら二つの比を取れば良いのです。そしてこの比は等分散の検定の時に用いた、F値です。自由度はそれぞれの自由度とします。
今回のケースで実際に計算してみると、
F = 300 / 6 =
50
となります。
自由度v1 = 1, v2 = 10の下、上側確率が5%になるF値は、,F分布表を参照すると4.96となります。
そのため、「今回のケースは都市による変動が誤差による変動を危険率5%で有意に上回る」と言うことができます。
一方、今回のケースにStuden t検定を行うとどうなるでしょうか。個々から下はRを用いて計算を行います。
$
R
>
cityA <- c(178, 182, 181, 179, 178, 182)
>
cityB <- c(168, 172, 174, 166, 169, 171)
> t.test(cityA, cityB, var.equal=T)
Two Sample t-test
data: cityA and cityB
t = 7.0711, df = 10, p-value = 3.411e-05
alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 0
95 percent confidence interval:
6.848936 13.151064
sample estimates:
mean of x mean of y
180 170
p< 0.05なので、二群の平均値の間には有意な差があると言うことができます。
ところで、t値は7.0711と求まりました。
実はこのt値を2乗してみると面白い結果を得ることができます。
> 7.0711 * 7.0711
[1] 50.00046
なんと驚いたことに、先ほど計算したF値とStudent t testで計算したt値の二乗が一致するではありませんか。これはただの偶然ではないのです。
一般に、平均値の二群比較でもとめられるt値の二乗は、対応の無い２群の一元配置分散分析を行うF値に等しいのです。
このことから、tテストを行うということはANOVAを特定下で行うことに等しいということができます。
この話題は、結局平均値の二群比較とANOVAと回帰分析を巻き込んで、一般化線形モデルというトッピックに発展するようです。
まだ勉強の途中でよく理解できていないので、あまり細かいことは良く理解できていません。しかし、現状理解できているのは、「見たい要因による効果」と「偶然による誤差」を一次結合の形式で分離することができるというモデル(信念)を頭において、これらの理論は構築されているということです。
非線形であった場合、例えば誤差がある値を超えてきた場合に、見たい要因の変動にもとても大きな(小さな)な影響を与えるようなことが起きると思われます(一例ですが)。非線形の場合は、さまざまな要因間が絡み合っていると考えるはずです。要するに、「世の中、物事の足し算でできているような単純なものではない」とすることではないでしょうか。
少し、哲学的になってきてしまいましたが、現状私が理解できている(しているつもり)の範囲を書きました。
【参考文献】
栗原 伸一『入門統計学』Ohmsha, 2011, 88-89, 130-138pp
